Entiers quadratiques : unités de \(\Z[\sqrt2]\)
et polygones réguliers du réseau Deux exercices de terminale et ce qu'ils cachent

Résumé

On part de deux exercices de terminale. Le premier demande si un triangle équilatéral peut avoir ses sommets sur un quadrillage. Le second demande de montrer que chaque puissance \((1+\sqrt2)^q\) s'écrit \(\sqrt{n+1}+\sqrt n\) avec \(n\) entier. Les deux se résolvent en quelques lignes, mais chacun cache une idée plus générale. Derrière le second, il y a le groupe des unités de l'anneau \(\Z[\sqrt2]\) : on montre que ce sont exactement les \(\pm(1+\sqrt2)^k\), ce qui résout l'équation de Pell-Fermat \(x^2-2y^2=\pm1\), et que cet anneau est euclidien. Derrière le premier, il y a un argument de trace : une rotation qui préserve un réseau a une trace entière. On en déduit que le seul polygone régulier à sommets entiers dans le plan est le carré.

Figure 1. Sur la base \((0,0)\), \((2,0)\), le troisième sommet du triangle équilatéral est \((1,\sqrt3)\) : il tombe entre deux nœuds. Le nœud le plus proche, \((1,2)\), donne un triangle seulement isocèle.

Lemme 2.1. Le réel \(\sqrt d\) est irrationnel. Par conséquent, si \(r,s\in\Q\) vérifient \(r+s\sqrt d=0\), alors \(r=s=0\). En particulier, l'écriture d'un élément de \(\Q(\sqrt d)\) sous la forme \(r+s\sqrt d\) est unique.

Démonstration. Supposons \(\sqrt d=p/q\) avec \(p,q\geq1\) et \(p\pgcd q=1\). Alors \(p^2=dq^2\). Si un nombre premier \(\ell\) divisait \(q\), il diviserait \(p^2\), donc \(p\). C'est impossible puisque \(p\pgcd q=1\). Donc \(q=1\) et \(d=p^2\) est un carré, ce qui est exclu.

Si maintenant \(r+s\sqrt d=0\) avec \(s\neq0\), on aurait \(\sqrt d=-r/s\in\Q\). Donc \(s=0\), puis \(r=0\). L'unicité de l'écriture s'obtient en appliquant ceci à la différence de deux écritures. ∎

Définition 2.2. La conjugaison est l'application \(\sigma:\Q(\sqrt d)\to\Q(\sqrt d)\), \(r+s\sqrt d\mapsto r-s\sqrt d\). Elle est bien définie grâce au lemme 2.1. La norme est \(\Nm(x)=x\,\sigma(x)\), c'est-à-dire \[ \Nm(r+s\sqrt d)=(r+s\sqrt d)(r-s\sqrt d)=r^2-ds^2 . \]

Proposition 2.3.

1. \(\sigma\) est un automorphisme de l'anneau \(\Q(\sqrt d)\), égal à son propre inverse, qui envoie \(\Z[\sqrt d]\) dans lui-même.
2. La norme est multiplicative : \(\Nm(xy)=\Nm(x)\Nm(y)\). Elle est entière sur \(\Z[\sqrt d]\), et \(\Nm(x)=0\) si et seulement si \(x=0\).
3. Un élément \(x\in\Z[\sqrt d]\) est inversible dans \(\Z[\sqrt d]\) si et seulement si \(\Nm(x)=\pm1\). Dans ce cas, \(x^{-1}=\Nm(x)\,\sigma(x)\).

Démonstration. 1. L'additivité est claire. Pour la multiplicativité, on écrit \(x=r+s\sqrt d\) et \(x'=r'+s'\sqrt d\). On a \(xx'=(rr'+dss')+(rs'+r's)\sqrt d\), et \[ \sigma(x)\sigma(x')=(r-s\sqrt d)(r'-s'\sqrt d)=(rr'+dss')-(rs'+r's)\sqrt d=\sigma(xx'). \] Enfin \(\sigma(1)=1\) et \(\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}\). Si \(r,s\) sont entiers, \(r-s\sqrt d\) est dans \(\Z[\sqrt d]\).

2. On a \(\Nm(xx')=xx'\,\sigma(x)\sigma(x')=x\sigma(x)\cdot x'\sigma(x')=\Nm(x)\Nm(x')\). Pour \(x\in\Z[\sqrt d]\), \(\Nm(x)=a^2-db^2\in\Z\). Supposons \(\Nm(r+s\sqrt d)=0\). Si \(s\neq0\), alors \(d=(r/s)^2\) et \(\sqrt d=|r/s|\in\Q\), ce qui contredit le lemme 2.1. Donc \(s=0\), puis \(r^2=0\).

3. Si \(xy=1\) avec \(x,y\in\Z[\sqrt d]\), alors \(\Nm(x)\Nm(y)=\Nm(1)=1\). Ce sont deux entiers de produit \(1\), donc \(\Nm(x)=\pm1\). Réciproquement, si \(\Nm(x)=\pm1\), on a \(x\cdot\Nm(x)\sigma(x)=\Nm(x)^2=1\), et \(\Nm(x)\sigma(x)\) est bien dans \(\Z[\sqrt d]\). ∎

Lemme 2.4. Si \(u=a+b\sqrt d\in\Z[\sqrt d]^\times\) vérifie \(u>1\), alors \(a\geq1\) et \(b\geq1\). En particulier \(u\geq1+\sqrt d\).

Démonstration. L'idée est que le conjugué d'une grande unité est petit. Par la proposition 2.3, \(u\,\sigma(u)=\pm1\), donc \(\sigma(u)=\pm1/u\) appartient à \(]-1,1[\). On récupère les coefficients par demi-somme et demi-différence : \[ 2a=u+\sigma(u)>1-1=0,\qquad 2b\sqrt d=u-\sigma(u)>1-1=0 . \] Comme \(a\) et \(b\) sont entiers, \(a\geq1\) et \(b\geq1\). ∎

Théorème 2.5. Si \(\Z[\sqrt d]^\times\neq\{\pm1\}\), alors \(\Z[\sqrt d]^\times\) possède un plus petit élément \(\varepsilon_d\) strictement supérieur à \(1\), et \[ \Z[\sqrt d]^\times=\{\pm\varepsilon_d^{\,k} : k\in\Z\}\simeq\{\pm1\}\times\Z . \] On dit que \(\varepsilon_d\) est l'unité fondamentale de \(\Z[\sqrt d]\).

Démonstration. Existence de \(\varepsilon_d\). Soit \(u\) une unité différente de \(\pm1\). Comme \(u\) est réel, \(|u|\neq1\). L'un des quatre réels \(u,-u,u^{-1},-u^{-1}\) est donc \(>1\) ; c'est une unité, notée \(M\). Par le lemme 2.4, une unité \(a+b\sqrt d\) comprise dans \(]1,M]\) vérifie \(1\leq a\leq M\) et \(1\leq b\leq M/\sqrt d\). Il n'y en a donc qu'un nombre fini, et il y en a au moins une, \(M\) lui-même. On note \(\varepsilon_d\) la plus petite.

Descente. Soit \(u\) une unité. Quitte à remplacer \(u\) par \(-u\), on suppose \(u>0\). Comme \(\varepsilon_d>1\), il existe un unique \(k\in\Z\) tel que \(\varepsilon_d^{\,k}\leq u<\varepsilon_d^{\,k+1}\), à savoir \(k=\lfloor\ln u/\ln\varepsilon_d\rfloor\). Alors \(v=u\,\varepsilon_d^{-k}\) est une unité, et \(1\leq v<\varepsilon_d\). Par minimalité de \(\varepsilon_d\), on ne peut pas avoir \(v>1\). Donc \(v=1\) et \(u=\varepsilon_d^{\,k}\).

Isomorphisme. L'application \((\pm1,k)\mapsto\pm\varepsilon_d^{\,k}\) est un morphisme de groupes, surjectif d'après ce qui précède. Il est injectif : si \(\pm\varepsilon_d^{\,k}=1\), alors le signe est \(+\) (car \(\varepsilon_d^{\,k}>0\)), puis \(k=0\) (car \(\varepsilon_d>1\)). ∎

Corollaire 2.6.

1. \(\Z[\sqrt2]^\times=\{\pm(1+\sqrt2)^k : k\in\Z\}\).
2. Pour \(q\in\N\), écrivons \((1+\sqrt2)^q=a_q+b_q\sqrt2\). Les solutions dans \(\N^2\) de \(x^2-2y^2=1\) sont les \((a_q,b_q)\) avec \(q\) pair. Celles de \(x^2-2y^2=-1\) sont les \((a_q,b_q)\) avec \(q\) impair.

Démonstration. 1. On a \(\Nm(1+\sqrt2)=-1\), donc \(1+\sqrt2\) est une unité \(>1\) et le théorème s'applique. Par le lemme 2.4, toute unité \(>1\) est \(\geq1+\sqrt2\). Donc \(\varepsilon_2=1+\sqrt2\).

2. Soit \((x,y)\in\N^2\) avec \(x^2-2y^2=\pm1\). Alors \(u=x+y\sqrt2\) est une unité. Elle n'est pas nulle, donc \((x,y)\neq(0,0)\) et \(u\geq1\). Par le point 1, \(u=(1+\sqrt2)^q\) avec \(q\in\Z\). On a \(q\geq0\), car \((1+\sqrt2)^q<1\) pour \(q<0\). Par unicité de l'écriture, \((x,y)=(a_q,b_q)\), et le signe est \(\Nm\big((1+\sqrt2)^q\big)=(-1)^q\).

Réciproquement, chaque \((a_q,b_q)\) est dans \(\N^2\). En effet, en multipliant par \(1+\sqrt2\), on obtient la récurrence \(a_{q+1}=a_q+2b_q\), \(b_{q+1}=a_q+b_q\), avec \((a_0,b_0)=(1,0)\). ∎

Exemple 2.7. Voici les premières valeurs : \[ \begin{array}{c|cccccccc} q&0&1&2&3&4&5&6&7\\\hline a_q&1&1&3&7&17&41&99&239\\ b_q&0&1&2&5&12&29&70&169 \end{array} \] On vérifie par exemple \(99^2-2\cdot70^2=9801-9800=1\) et \(239^2-2\cdot169^2=57121-57122=-1\). Les deux suites vérifient aussi \(x_{q+2}=2x_{q+1}+x_q\), puisque \(1+\sqrt2\) est racine de \(X^2-2X-1\). La figure 2 montre ces points sur les deux hyperboles \(x^2-2y^2=\pm1\) : multiplier par \(1+\sqrt2\) fait sauter d'une branche à l'autre en s'éloignant de l'origine.

Figure 2. Les deux hyperboles \(x^2-2y^2=\pm1\) et leurs premiers points entiers du premier quadrant ; le suivant est \((7,5)\). Ils alternent d'une branche à l'autre : \((a_q,b_q)\) est sur \(x^2-2y^2=(-1)^q\).

Proposition 2.8. Soit \((a,b)\in\N^2\) tel que \(a^2-db^2=\eta\in\{-1,1\}\). Pour \(q\in\N\), on écrit \((a+b\sqrt d)^q=A_q+B_q\sqrt d\). Alors \(A_q,B_q\in\N\) et \(A_q^2-dB_q^2=\eta^q\). Les entiers \(A_q^2\) et \(dB_q^2\) sont donc consécutifs, et \[ (a+b\sqrt d)^q=\sqrt{n+1}+\sqrt n,\qquad n=\min(A_q^2,\,dB_q^2). \] De plus, cet entier \(n\) est unique.

Démonstration. On a \(A_0=1\) et \(B_0=0\). En multipliant par \(a+b\sqrt d\), on obtient \(A_{q+1}=aA_q+dbB_q\) et \(B_{q+1}=bA_q+aB_q\). Par récurrence, ce sont des entiers positifs.

Par multiplicativité de la norme, \(A_q^2-dB_q^2=\Nm\big((a+b\sqrt d)^q\big)=\Nm(a+b\sqrt d)^q=\eta^q\). Comme \(A_q\geq0\) et \(B_q\geq0\), on peut écrire \(A_q=\sqrt{A_q^2}\) et \(B_q\sqrt d=\sqrt{dB_q^2}\). Ce sont les racines de deux entiers consécutifs, d'où la forme annoncée.

Enfin, la fonction \(t\mapsto\sqrt{t+1}+\sqrt t\) est strictement croissante sur \(\R_+\), donc deux valeurs différentes de \(n\) donnent deux réels différents. ∎

Exemple 2.9. Pour \(d=2\) et \(a=b=1\), on retrouve l'exercice. On a \(n=2b_q^2\) si \(q\) est pair et \(n=a_q^2\) si \(q\) est impair. Par exemple \[ (1+\sqrt2)^5=41+29\sqrt2=\sqrt{1682}+\sqrt{1681},\qquad (1+\sqrt2)^6=99+70\sqrt2=\sqrt{9801}+\sqrt{9800}. \] Avec \(d=3\) et \((a,b)=(2,1)\), on obtient de même \((2+\sqrt3)^2=7+4\sqrt3=\sqrt{49}+\sqrt{48}\).

Remarque 2.10. La preuve n'utilise pas vraiment que \(d\) n'est pas un carré. Si on remplace \(\sigma\) par le développement du binôme, on obtient directement \((a-b\sqrt d)^q=A_q-B_q\sqrt d\) : seuls les termes qui contiennent une puissance impaire de \(\sqrt d\) changent de signe.

Proposition 2.11. L'anneau \(\Z[\sqrt2]\) est euclidien pour le stathme \(x\mapsto|\Nm(x)|\). En particulier, il est principal, donc factoriel.

Démonstration. L'idée est la même que dans \(\Z\) : on calcule le quotient exact dans \(\Q(\sqrt2)\), puis on l'arrondit à l'élément de \(\Z[\sqrt2]\) le plus proche.

L'anneau \(\Z[\sqrt2]\) est intègre, comme sous-anneau de \(\R\). Soit \(x,y\in\Z[\sqrt2]\) avec \(y\neq0\). Dans \(\Q(\sqrt2)\), on écrit \(x/y=x\sigma(y)/\Nm(y)=r+s\sqrt2\) avec \(r,s\in\Q\). On choisit des entiers \(m,n\) avec \(|r-m|\leq\frac12\) et \(|s-n|\leq\frac12\). On pose \(q=m+n\sqrt2\) et \(\rho=x-qy\), qui sont dans \(\Z[\sqrt2]\). Avec \(\alpha=r-m\) et \(\beta=s-n\), on a \(\rho=y(\alpha+\beta\sqrt2)\), donc \[ |\Nm(\rho)|=|\Nm(y)|\cdot|\alpha^2-2\beta^2|\leq|\Nm(y)|\max(\alpha^2,2\beta^2)\leq\tfrac12|\Nm(y)|<|\Nm(y)|. \] La première inégalité vient de ce que \(\alpha^2\) et \(2\beta^2\) sont deux réels positifs : leur différence est majorée en valeur absolue par le plus grand des deux. ∎

Remarque 2.12. Le même argument montre que \(\Z[\sqrt3]\) est euclidien, avec \(|\alpha^2-3\beta^2|\leq\frac34\). Il ne marche plus pour \(d\) grand, et le résultat devient faux : \(\Z[\sqrt{10}]\) n'est pas principal. En effet \(2\cdot3=(4+\sqrt{10})(4-\sqrt{10})\), et \(2\) est irréductible sans être premier. Il est irréductible car aucun élément n'est de norme \(\pm2\), puisque \(x^2\equiv\pm2\pmod5\) n'a pas de solution. Il n'est pas premier car il ne divise ni \(4+\sqrt{10}\) ni \(4-\sqrt{10}\).

Remarque 2.13 (Fractions continues). On a \(\sqrt2=[1;2,2,2,\dots]\), et les réduites \(1,\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29},\dots\) sont exactement les \(a_q/b_q\). Voici pourquoi. Si \(a^2-2b^2=\pm1\) avec \(b\geq1\), alors \(|a-b\sqrt2|=1/(a+b\sqrt2)\) et \(a\geq b\), donc \[ \Big|\frac ab-\sqrt2\Big|=\frac{1}{b\,(a+b\sqrt2)}<\frac{1}{2b^2}. \] Le critère de Legendre dit alors que \(a/b\) est une réduite de \(\sqrt2\). En général, l'unité fondamentale de \(\Z[\sqrt d]\) se lit sur la période du développement en fraction continue de \(\sqrt d\).

Remarque 2.14 (Dirichlet). Le théorème 2.5 suppose qu'il existe une unité autre que \(\pm1\). C'est toujours vrai (Lagrange) : l'équation \(x^2-dy^2=1\) a une solution non triviale, ce qui se démontre avec le théorème d'approximation de Dirichlet. C'est un cas particulier du théorème des unités de Dirichlet : pour un corps de nombres \(K\) ayant \(r_1\) plongements réels et \(r_2\) paires de plongements complexes, \(\mathcal O_K^\times\simeq\mu(K)\times\Z^{r_1+r_2-1}\). Attention, \(\Z[\sqrt d]\) n'est pas toujours l'anneau des entiers de \(\Q(\sqrt d)\) : pour \(d=5\), celui-ci est \(\Z\big[\frac{1+\sqrt5}2\big]\), d'unité fondamentale le nombre d'or.

Proposition 3.1. Il n'existe pas de triangle équilatéral, non réduit à un point, dont les sommets sont dans \(\Z^2\).

Preuve de la feuille d'origine. On identifie \(\R^2\) à \(\C\), de sorte que \(\Z^2\) devient \(\Z[i]\). Soit \(A,B,C\) trois points de \(\Z[i]\) formant un triangle équilatéral, d'affixes \(a,b,c\). Quitte à échanger \(B\) et \(C\), le triangle est direct. Cela veut dire qu'on passe de \(\overrightarrow{AB}\) à \(\overrightarrow{AC}\) par la rotation d'angle \(\pi/3\) : \[ c-a=\omega(b-a),\qquad\omega=e^{i\pi/3}=\tfrac12+i\tfrac{\sqrt3}2 . \] Posons \(b-a=u+iv\) et \(c-a=s+it\), avec \(u,v,s,t\in\Z\). En développant et en séparant parties réelle et imaginaire, on obtient \[ 2s-u=-v\sqrt3,\qquad 2t-v=u\sqrt3 . \] Par le lemme 2.1 appliqué à \(d=3\), la première égalité donne \(v=0\) et la seconde \(u=0\). Donc \(B=A\), puis \(C=A\). ∎

Preuve par l'aire. Soit \(A,B,C\in\Z^2\) formant un triangle équilatéral de côté \(\ell>0\). On calcule son aire de deux façons.

• Par le déterminant : l'aire vaut \(\frac12|\det(B-A,C-A)|\), qui est dans \(\frac12\Z\).
• Par la géométrie : l'aire vaut \(\frac{\sqrt3}{4}\ell^2\), où \(\ell^2=\|B-A\|^2\) est un entier non nul.

En égalant, \(\sqrt3=2|\det(B-A,C-A)|/\ell^2\) serait rationnel, ce qui est absurde. ∎

Définition 3.2. Soit \(n\geq3\) et \(P\) un plan affine euclidien, de direction \(V\). Un polygone régulier à \(n\) sommets de \(P\) est une famille \((P_k)_{k\in\Z/n\Z}\) de la forme \(P_k=O+R^k(v)\), où \(O\in P\), \(v\in V\) est non nul, et \(R\) est la rotation vectorielle de \(V\) d'angle \(2\pi/n\) pour l'une des deux orientations.

Théorème 3.3. Soit \(n\geq3\). Il existe un polygone régulier à \(n\) sommets dont les sommets sont dans \(\Z^2\) si et seulement si \(n=4\).

Figure 3. Un carré de \(\mathbb{Z}^2\) et ses vecteurs côtés. La rotation \(R\) d'un quart de tour envoie \(w_k\) sur \(w_{k+1}\) ; ils engendrent le réseau \(L\) de la preuve.

Démonstration. Le carré \((0,0),(1,0),(1,1),(0,1)\) convient pour \(n=4\). Réciproquement, soit \((P_k)\) un polygone régulier à sommets dans \(\Z^2\), \(P_k=O+R^k(v)\), et soit \(\theta=2\pi/n\in\,]0,2\pi/3]\).

Étape 1 : les vecteurs côtés. Posons \(w_k=P_{k+1}-P_k=R^k(Rv-v)\). Ce sont des vecteurs de \(\Z^2\), comme différences de points de \(\Z^2\), et \(R(w_k)=w_{k+1}\) pour tout \(k\in\Z/n\Z\). Le vecteur \(w_0=Rv-v\) est non nul, car \(R\) ne fixe que le vecteur nul puisque \(\theta\notin2\pi\Z\). Les vecteurs \(w_0\) et \(w_1=Rw_0\) sont indépendants, car \(\theta\notin\pi\Z\).

Étape 2 : le réseau. Soit \(L=\sum_{k}\Z w_k\) le sous-groupe de \(\Z^2\) engendré par les \(w_k\). Comme \(R\) permute les \(w_k\), on a \(R(L)=L\). C'est un sous-groupe de \(\Z^2\), donc un \(\Z\)-module libre de rang fini. Des vecteurs de \(\Z^2\) indépendants sur \(\Z\) le sont sur \(\Q\) (on chasse les dénominateurs), donc sur \(\R\) (le rang d'une matrice rationnelle ne dépend pas du corps). Le rang de \(L\) est donc au plus \(2\). Il vaut \(2\) puisque \(L\) contient \(w_0\) et \(w_1\). Une \(\Z\)-base \((e_1,e_2)\) de \(L\) est ainsi une base de \(\R^2\).

Attention, on ne peut pas se contenter de \(L'=\Z w_0+\Z w_1\) : on sait que \(R(w_1)=w_2\) est dans \(\Z^2\), mais pas qu'il est dans \(L'\). C'est pour cela qu'on prend tous les \(w_k\).

Étape 3 : la trace. Comme \(R(e_1)\) et \(R(e_2)\) sont dans \(L\), la matrice de \(R\) dans la base \((e_1,e_2)\) est à coefficients entiers. Donc \(\tr R=2\cos\theta\in\Z\). Or \(\theta\in\,]0,2\pi/3]\) donne \(2\cos\theta\in[-1,2[\). Donc \(2\cos\theta\in\{-1,0,1\}\), c'est-à-dire \(\theta\in\{2\pi/3,\pi/2,\pi/3\}\), ou encore \(n\in\{3,4,6\}\).

Étape 4 : conclusion. Le cas \(n=3\) est exclu par la proposition 3.1. Si \(n=6\), les sommets \(P_0,P_2,P_4\) s'écrivent \(O+(R^2)^j(v)\) pour \(j=0,1,2\), où \(R^2\) est la rotation d'angle \(2\pi/3\). Ils forment un triangle équilatéral à sommets dans \(\Z^2\), ce qui est exclu. Il reste \(n=4\). ∎

Remarque 3.4. La preuve vaut aussi pour les polygones étoilés, où \(R\) est la rotation d'angle \(2\pi m/n\) avec \(m\pgcd n=1\) : la condition \(2\cos(2\pi m/n)\in\{-1,0,1\}\) donne encore \(n\in\{3,4,6\}\). Elle vaut aussi mot pour mot dans \(\Z^d\) (exercice 5). Seule l'étape 4, qui exclut \(n=3\) et \(n=6\), utilise la dimension \(2\).

Remarque 3.5 (Racines de l'unité). En termes complexes, si les sommets \(z_k\) sont dans \(\Z[i]\), alors \(e^{2i\pi/n}=(z_2-z_1)/(z_1-z_0)\) est dans \(\Q(i)\). Le théorème 3.3 dit donc que les racines de l'unité de \(\Q(i)\) sont \(\pm1\) et \(\pm i\). On peut aussi le voir ainsi. Une racine primitive \(n\)-ième de l'unité est de degré \(\varphi(n)\) sur \(\Q\) (irréductibilité des polynômes cyclotomiques). Si elle est dans \(\Q(i)\), on a \(\varphi(n)\leq2\), donc \(n\in\{1,2,3,4,6\}\). Et \(e^{2i\pi/3}=\frac{-1+i\sqrt3}2\) n'est pas dans \(\Q(i)\).

Remarque 3.6 (Entiers d'Eisenstein). Sur le réseau hexagonal \(\Z[j]\), avec \(j=e^{2i\pi/3}\), la situation s'inverse : il y a des triangles équilatéraux et des hexagones réguliers, mais pas de carré, puisque \(i\notin\Q(j)=\Q(i\sqrt3)\). Le plan \(x+y+z=0\) coupe \(\Z^3\) selon une copie de ce réseau, ce qui explique l'exercice 5.

Exercice 1. Calculer \((1+\sqrt2)^q\) pour \(1\leq q\leq5\), et l'écrire sous la forme \(\sqrt{n+1}+\sqrt n\).

Exercice 2. Montrer que l'unité fondamentale de \(\Z[\sqrt3]\) est \(2+\sqrt3\), que toutes les unités de \(\Z[\sqrt3]\) sont de norme \(1\), et résoudre \(x^2-3y^2=1\) dans \(\N^2\).

Exercice 3. Déterminer les nombres triangulaires \(\frac{n(n+1)}2\), \(n\geq1\), qui sont des carrés parfaits.

Exercice 4. Soit \(p\) un nombre premier tel que \(2\) soit un carré modulo \(p\). Montrer qu'il existe \((x,y)\in\Z^2\) tel que \(p=x^2-2y^2\). Traiter \(p=7\) et \(p=17\).

Exercice 5. Soit \(d\geq2\). Montrer qu'un polygone régulier à \(n\) sommets dont les sommets sont dans \(\Z^d\) n'existe que pour \(n\in\{3,4,6\}\), et que les trois cas sont réalisés dans \(\Z^3\).

Figure 4. Dans \(\mathbb{Z}^3\) : l'hexagone régulier formé des permutations de \((1,-1,0)\), dans le plan \(x+y+z=0\), et le triangle équilatéral \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\), dans le plan \(x+y+z=1\).