Crochet de Lie et équations différentielles linéaires
Comment la commutation explique (et remplace) la variation des constantes

Résumé

On résout d'habitude l'équation \(y''+a(x)y'+b(x)y=f(x)\) par la méthode de variation des constantes, avec une condition auxiliaire, \(C_1'\varphi_1+C_2'\varphi_2=0\), qui paraît tomber du ciel. Cet article propose deux lectures de cette méthode fondées sur une seule notion, le crochet de Lie \([A,B]=AB-BA\). D'abord, en factorisant l'opérateur différentiel en deux opérateurs du premier ordre : c'est possible sans effort quand les coefficients commutent avec la dérivation, et le commutateur mesure exactement l'obstruction sinon. Ensuite, en regardant les translations par des solutions de l'équation homogène comme des transformations qui commutent : la variation des constantes est alors le changement de coordonnées qui les « redresse ». On passe ensuite à la forme matricielle, où la commutation décide si l'exponentielle donne la solution, puis on reprend les exemples d'une leçon filmée de Canal-U qui procède par « dérivée exacte » et par factorisation. On termine en réduisant les équations modulo un nombre premier \(p\). Le crochet y fabrique un invariant, la \(p\)-courbure, et une question posée par Grothendieck, qu'on appelle aujourd'hui la conjecture de Grothendieck–Katz, demande si cet invariant détecte les équations dont les solutions sont algébriques. Elle est ouverte en général. Nous la démontrons dans les deux cadres de cet article : les coefficients constants, et l'ordre \(1\).

Définition 2.1. On note \(\Dx\) l'opérateur de dérivation, \(\Dx y = y'\). Pour une fonction \(q\), on note \(\M{q}\) l'opérateur de multiplication, \(\M{q}\,y = q\,y\). Quand il n'y a pas d'ambiguïté, on écrit simplement \(q\) au lieu de \(\M{q}\).

Définition 2.2 (Crochet de Lie, ou commutateur). Pour deux opérateurs linéaires \(A\) et \(B\), on pose \[ \cro{A}{B} = AB - BA . \] On dit que \(A\) et \(B\) commutent si \(\cro{A}{B}=0\).

Proposition 2.3 (Relation fondamentale). Pour toute fonction \(q\), \[ \cro{\Dx}{\M{q}} = \M{q'} . \] En particulier \(\cro{\Dx}{\M{x}} = \Id\), et \(\Dx\) commute avec \(\M{q}\) si et seulement si \(q\) est constante.

Démonstration. Pour toute fonction \(y\), la règle de Leibniz donne \[ \cro{\Dx}{\M{q}}\,y = (qy)' - q\,y' = q'\,y . \] ∎

Remarque 2.4. La relation \(\cro{\Dx}{x}=1\) est la même que la relation de Heisenberg \([\hat p,\hat x] = -i\hbar\) de la mécanique quantique. Toute la suite repose sur cette égalité d'apparence modeste.

Lemme 2.5 (Conjugaison). Soit \(q\) une fonction et \(Q\) une primitive de \(q\). Alors \[ \Dx - q = e^{Q}\circ \Dx \circ e^{-Q}, \] où \(e^{\pm Q}\) désigne la multiplication par \(e^{\pm Q}\). Par conséquent, l'équation \((\Dx - q)\,y = g\) a pour solutions \[ y = e^{Q}\!\int e^{-Q}\, g . \]

Démonstration. On calcule : \(e^{Q}\big(e^{-Q}y\big)' = e^{Q}\big(e^{-Q}y' - q\,e^{-Q}y\big) = y' - qy\). Résoudre \(e^{Q}\Dx\big(e^{-Q}y\big) = g\) revient à résoudre \(\big(e^{-Q}y\big)' = e^{-Q}g\), et il suffit de prendre une primitive. ∎

Remarque 3.1. Cette factorisation n'est pas évidente a priori. Le développement de \((\Dx - r_1)(\Dx - r_2)\) fait intervenir \(\Dx\, r_2\), qu'on récrit \(r_2\,\Dx\), et cette réécriture est justement \(\cro{\Dx}{r_2}=0\).

Exemple 3.2. On résout \(y'' - 3y' + 2y = x\). On a \(L = (\Dx-1)(\Dx-2)\).

• \((\Dx - 1)z = x\) : \(z = e^{x}\int s\,e^{-s}\,\dd s = -x - 1 + A\,e^{x}\).
• \((\Dx - 2)y = z\) : une intégration par parties donne \[ y = e^{2x}\!\int e^{-2t}\big(-t-1+Ae^{t}\big)\,\dd t = \frac{x}{2} + \frac34 - A\,e^{x} + B\,e^{2x}. \]

Vérification : pour \(y_p = \frac x2 + \frac34\), on a \(y_p'' - 3y_p' + 2y_p = 0 - \frac32 + x + \frac32 = x\).

Proposition 4.1. L'opérateur \(L = \Dx^2 + a\Dx + b\) se factorise en \((\Dx - p)(\Dx - q)\) si et seulement si \(q\) vérifie l'équation de Riccati \[ q' + q^2 + a\,q + b = 0, \tag{3}\] et \(p = -a - q\).

Proposition 4.2. Si \(y_1\) est une solution de \((\mathrm{H})\) qui ne s'annule pas sur \(I\), alors \(q = y_1'/y_1\) vérifie (3). Autrement dit, connaître une solution de l'équation homogène, c'est connaître une factorisation de \(L\).

Démonstration. On a \(q' = \dfrac{y_1''}{y_1} - \dfrac{y_1'^2}{y_1^2}\), donc \(q' + q^2 + aq + b = \dfrac{y_1'' + a y_1' + b y_1}{y_1} = 0\). ∎

Exemple 4.3. On résout \(x^2y'' - 2xy' + 2y = x^3\) sur \(]0,+\infty[\). Après division par \(x^2\), on a \(a = -2/x\), \(b = 2/x^2\) et \(f = x\). La fonction \(y_1 = x\) est solution évidente de \((\mathrm{H})\), d'où \(q = 1/x\) et \(p = -a - q = 1/x\). Ainsi \[ L = \Big(\Dx - \frac1x\Big)\Big(\Dx - \frac1x\Big), \qquad\text{avec}\qquad \Dx - \frac1x = x\circ \Dx \circ \frac1x . \]

• \(\big(\Dx - \frac1x\big) z = x\) : \(z = x\int \frac{1}{s}\, s\,\dd s = x^2 + A\,x\).
• \(\big(\Dx - \frac1x\big) y = z\) : \(y = x\int \frac{t^2 + At}{t}\,\dd t = \dfrac{x^3}{2} + A\,x^2 + B\,x\).

La deuxième solution homogène \(x^2\) apparaît d'elle-même, sans qu'on l'ait cherchée.

Remarque 4.4. Les deux facteurs sont égaux ici, mais ils ne commutent pas en général : \((\Dx - p)(\Dx - q) \neq (\Dx - q)(\Dx - p)\) dès que \(p' \neq q'\). On vérifie en effet que \[ \cro{\Dx - p}{\Dx - q} = -\cro{\Dx}{q} - \cro{p}{\Dx} = p' - q'. \] L'ordre des facteurs, indifférent à coefficients constants, devient donc significatif.

Définition 5.1 (Crochet de deux champs de vecteurs). Un champ de vecteurs \(X\) agit sur les fonctions \(g(y,y')\) comme un opérateur de dérivation : \(X g\) est la dérivée de \(g\) dans la direction de \(X\). Le crochet \(\cro{X}{X'}\) est le commutateur de ces opérateurs : \[ \cro{X}{X'}\,g = X(X'g) - X'(Xg). \]

Théorème 5.2 (admis). Deux champs de vecteurs ont un crochet nul si et seulement si leurs flots commutent. Si de plus ils sont linéairement indépendants en chaque point, il existe des coordonnées locales \((C_1, C_2)\) dans lesquelles ils s'écrivent \(\partial/\partial C_1\) et \(\partial/\partial C_2\) (redressement simultané).

Figure 1. Dans le plan des phases, à \(x\) fixé : translater d'abord par \(t\Phi_1\) puis par \(s\Phi_2\), ou dans l'ordre inverse, mène au même point. C'est la commutation \(\cro{X_{\varphi_1}}{X_{\varphi_2}} = 0\). Les coordonnées \((C_1, C_2)\) de la variation des constantes sont celles de ce quadrillage par \(\Phi_1\) et \(\Phi_2\).

Proposition 5.3. Dans les coordonnées (5), le système (4) devient \[ C_1'\,\Phi_1 + C_2'\,\Phi_2 = F, \] qui ne dépend plus de \(C_1\) ni de \(C_2\). Il se résout donc par deux primitives, et l'on retrouve les formules (2).

Démonstration. On dérive \(Y = C_1\Phi_1 + C_2\Phi_2\) : \(Y' = C_1'\Phi_1 + C_2'\Phi_2 + C_1\Phi_1' + C_2\Phi_2'\). Comme \(\Phi_i' = A\Phi_i\), les deux derniers termes valent \(AY\), et (4) se réduit à \(C_1'\Phi_1 + C_2'\Phi_2 = F\). Ce système de Cramer, de déterminant \(W\), s'écrit composante par composante \[ C_1'\varphi_1 + C_2'\varphi_2 = 0, \qquad C_1'\varphi_1' + C_2'\varphi_2' = f . \] ∎

Remarque 5.4 (La réponse à la question de départ). La première ligne est exactement la condition (1). Elle n'a rien d'arbitraire : elle dit qu'on prend aussi des coordonnées pour \(y'\), et pas seulement pour \(y\), de façon à redresser les symétries dans tout l'espace des phases. Le fait qu'il ne reste que des primitives est la traduction de l'invariance par translation : l'équation ne peut pas dépendre de \(C_i\) puisque translater \(C_i\) ne change rien. Et on peut traiter \(C_1\) et \(C_2\) indépendamment parce que les deux symétries commutent.

Proposition 6.1. Posons \(B(x) = \int_{x_0}^x A(s)\,\dd s\). Si \(A(x)\) et \(B(x)\) commutent pour tout \(x\), ce qui est le cas en particulier si \(\cro{A(x)}{A(s)} = 0\) pour tous \(x, s\), alors \(\frac{\dd}{\dd x} e^{B(x)} = A(x)\, e^{B(x)}\), et la formule ci-dessus est correcte.

Idée de preuve. On dérive terme à terme \(e^{B} = \sum_k B^k/k!\). La dérivée de \(B^k\) est \(\sum_{j} B^{j} A\, B^{k-1-j}\), et elle vaut \(k\,A\,B^{k-1}\) uniquement si l'on peut faire passer \(A\) à gauche de chaque \(B^j\), c'est-à-dire si \(\cro{A}{B}=0\). ∎

Remarque 7.1 (Lien avec le lemme 2.5). Multiplier par \(u\) puis reconnaître \((yB)'\), c'est écrire \[ a\,y' + b\,y = \frac{1}{u}\,\Dx\,(B\,y), \qquad\text{soit}\qquad a\Big(\Dx + \frac ba\Big) = a\;B^{-1}\circ\Dx\circ B, \] c'est-à-dire la conjugaison du lemme 2.5 avec \(q = -b/a\) et \(e^{-Q} = B\), à constante multiplicative près (\(B/a\) est le multiplicateur \(u\)). La variation de la constante sur \(y = C/B\) mène à \(C' = uf\), qui est la même équation : les deux méthodes ne diffèrent que par la présentation.

Remarque 7.2 (Le facteur intégrant et le crochet de Lie). Le lien avec le crochet est double.

Côté opérateurs. Pour deux opérateurs \(A\) et \(B\), la formule de Hadamard donne \[ e^{A}\,B\,e^{-A} = B + \cro{A}{B} + \frac{1}{2!}\cro{A}{\cro{A}{B}} + \cdots \] Avec \(A = \M{Q}\) et \(B = \Dx\), la proposition 2.3 donne \(\cro{Q}{\Dx} = -\M{Q'}\), puis \(\cro{Q}{\cro{Q}{\Dx}} = -\cro{Q}{Q'} = 0\), car deux multiplications commutent. La série s'arrête après un seul crochet : \[ e^{Q}\,\Dx\,e^{-Q} = \Dx - Q' = \Dx - q . \] Le facteur intégrant fonctionne donc parce que le crochet de \(\Dx\) avec une multiplication est encore une multiplication, et que les multiplications commutent entre elles.

Côté symétries. Lie a montré en 1874 que si l'équation \(M\,\dd x + N\,\dd y = 0\) admet la symétrie \(X = \xi\,\partial_x + \eta\,\partial_y\), alors \(\mu = 1/(\xi M + \eta N)\) est un facteur intégrant. Pour \(y' + p\,y = f\), on a \(M = py - f\) et \(N = 1\), et la symétrie est la translation \(X = \varphi\,\partial_y\) par une solution homogène \(\varphi = e^{-\int p}\). On trouve \[ \mu = \frac{1}{\varphi} = e^{\int p}, \] qui est exactement le facteur intégrant de la leçon (à la division par \(a\) près). Le facteur intégrant est donc la version en dimension 1 du redressement de la section 5.

Exemple 7.3. On résout \(y'\sin x + y\cos x = \cos x\) sur un intervalle où \(\sin x \neq 0\). Le membre de gauche est déjà une dérivée exacte (\(u = 1\), \(B = \sin x\)) : \[ (y\sin x)' = \cos x \;\Longrightarrow\; y\sin x = \sin x + K \;\Longrightarrow\; y = 1 + \frac{K}{\sin x}. \] La formule générale donne bien \(u = \frac{1}{\sin x}\exp\int\frac{\cos}{\sin} = 1\).

Exemple 7.4. On résout \(y'\cos x + y\sin x = \sin x\) sur un intervalle où \(\cos x \neq 0\). On cherche \(u\) tel que \((u\cos x)' = u\sin x\), soit \(u'\cos x = 2u\sin x\), d'où \(u = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) et \(B = \dfrac{1}{\cos x}\) : \[ \Big(\frac{y}{\cos x}\Big)' = \frac{\sin x}{\cos^2 x} \;\Longrightarrow\; \frac{y}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} + C \;\Longrightarrow\; y = 1 + C\cos x . \]

Exemple 7.5. On résout \(y'' + 4y' + 3y = e^{-x} + \sin x\). Les racines de \(r^2 + 4r + 3\) sont \(-3\) et \(-1\). Dans la leçon, l'étudiant découpe le second membre par superposition, écrit \(\sin x = \frac{e^{ix}}{2i} - \frac{e^{-ix}}{2i}\), et devine une solution particulière de chaque morceau : \(Axe^{-x}\) pour \(e^{-x}\) (il trouve \(A = \frac12\)), \(Be^{\pm ix}\) pour les deux autres. Il obtient \[ y = a\,e^{-3x} + b\,e^{-x} + \frac{x}{2}\,e^{-x} - \frac15\cos x + \frac1{10}\sin x, \qquad (a,b) \in \R^2 . \] Par factorisation, le morceau \(e^{-x}\) ne demande aucune intuition. On a \(L = (\Dx + 3)(\Dx + 1)\) ; on pose \(z = (\Dx + 1)y\) : \[ (\Dx + 3)\,z = e^{-x} \;\Longrightarrow\; z = e^{-3x}\!\int e^{2s}\,\dd s = \tfrac12\,e^{-x}, \qquad (\Dx + 1)\,y = \tfrac12\,e^{-x} \;\Longrightarrow\; y = e^{-x}\!\int \tfrac12\,\dd t = \tfrac{x}{2}\,e^{-x}. \] La résonance, c'est-à-dire le facteur \(x\), apparaît d'elle-même, alors que l'étudiant devait savoir à l'avance qu'il fallait essayer \(Axe^{-x}\).

Exemple 7.6. On résout \(y'' + y' + y = \cos x\). Les racines de \(r^2 + r + 1\) sont \(j = -\frac12 + i\frac{\sqrt3}{2}\) et \(j^2 = \bar{j}\). Les parties réelle et imaginaire de \(e^{jx}\) donnent la solution homogène. Dans la leçon, l'étudiante teste \(\sin x\) : \(-\sin x + \cos x + \sin x = \cos x\), donc \(\sin x\) est solution particulière, et \[ y = A\,e^{-x/2}\cos\!\Big(\frac{\sqrt3}{2}x\Big) + B\,e^{-x/2}\sin\!\Big(\frac{\sqrt3}{2}x\Big) + \sin x . \] La factorisation fonctionne aussi sur \(\mathbb{C}\), avec \(L = (\Dx - j)(\Dx - j^2)\). Comme les coefficients sont réels, on résout avec \(e^{ix}\) et l'on prend la partie réelle : \[ (\Dx - j)\,z = e^{ix} \Rightarrow z = \frac{e^{ix}}{i - j}, \qquad (\Dx - j^2)\,y = z \Rightarrow y = \frac{e^{ix}}{(i-j)(i-j^2)} . \] Or \((i-j)(i-j^2) = i^2 - i(j + j^2) + j^3 = -1 + i + 1 = i\), donc \(y = -i\,e^{ix}\), dont la partie réelle est \(\sin x\).

Lemme 8.1. Soit \(\mathcal R\) un anneau commutatif muni d'une dérivation \(\Dx\).

1. Pour tous \(f, g \in \mathcal R\) et \(n \geq 0\), \(\Dx^n(fg) = \sum_{k=0}^n \binom nk \Dx^k f \cdot \Dx^{n-k} g\) (formule de Leibniz).
2. Si \(p \cdot 1 = 0\) dans \(\mathcal R\), alors \(\Dx^p\) est encore une dérivation : \(\Dx^p(fg) = f\,\Dx^p g + g\,\Dx^p f\).
3. Sur \(\F_p(x)\), on a \(\Dx^p = 0\).

Démonstration. 1. Par récurrence sur \(n\), avec la relation de Pascal \(\binom nk + \binom n{k-1} = \binom{n+1}k\).

2. Pour \(0 < k < p\), le nombre premier \(p\) divise \(\binom pk = \frac{p!}{k!\,(p-k)!}\), car il divise le numérateur et pas le dénominateur. Il ne reste que les termes \(k = 0\) et \(k = p\).

3. D'après le point 2, \(\Dx^p\) est une dérivation de \(\F_p(x)\), et \(\Dx^p(x) = 0\) puisque \(\Dx^2 x = 0\). Une dérivation nulle sur \(x\) est nulle sur tout polynôme, par la règle de Leibniz, puis sur tout quotient : en dérivant \(g \cdot \frac1g = 1\), on trouve \(\Dx^p\big(\frac1g\big) = -\frac{\Dx^p g}{g^2}\). ∎

Lemme 8.2. Soit \(\mathcal A\) un anneau (non nécessairement commutatif) dans lequel \(p \cdot 1 = 0\). Pour tous \(X, Y \in \mathcal A\), \[ \ad_X^{\,p}(Y) = \cro{X^p}{Y} . \]

Démonstration. Écrivons \(\ad_X = \lambda - \rho\), où \(\lambda(Y) = XY\) et \(\rho(Y) = YX\). Les deux opérations \(\lambda\) et \(\rho\) commutent, par associativité : \(X(YX) = (XY)X\). On peut donc développer \((\lambda - \rho)^p\) par la formule du binôme, et les coefficients intermédiaires sont divisibles par \(p\) comme dans le lemme précédent : \((\lambda-\rho)^p = \lambda^p + (-1)^p\rho^p = \lambda^p - \rho^p\) (pour \(p = 2\), \(-1 = 1\)). Or \(\lambda^p(Y) - \rho^p(Y) = X^pY - YX^p\). ∎

Définition 8.3. Pour \(p\) bon, on note \(\nabla_p = \Dx - A_p\) l'opérateur qui agit sur les vecteurs \(Y \in \F_p(x)^n\), \(\Dx\) dérivant chaque coordonnée. La \(p\)-courbure du système est l'opérateur \(\psi_p = (\nabla_p)^p\).

Proposition 8.4. La \(p\)-courbure est \(\F_p(x)\)-linéaire : \(\psi_p(fY) = f\,\psi_p(Y)\) pour toute \(f \in \F_p(x)\). C'est donc la multiplication par une matrice \(n \times n\) à coefficients dans \(\F_p(x)\), encore notée \(\psi_p\).

Démonstration. La relation fondamentale (proposition 2.3) donne \(\cro{\Dx}{\M f} = \M{f'}\), et \(A_p\) commute avec la multiplication par la fonction \(f\) (une matrice commute avec les scalaires). Donc \(\cro{\nabla_p}{\M f} = \M{f'}\), puis, en itérant, \(\ad_{\nabla_p}^{\,k}(\M f) = \M{\Dx^k f}\). Avec \(k = p\) et le lemme 8.1, \(\ad_{\nabla_p}^{\,p}(\M f) = \M{\Dx^p f} = 0\). Le lemme 8.2 dit que c'est \(\cro{\nabla_p^p}{\M f}\) : \(\psi_p\) commute avec toutes les multiplications. ∎

Proposition 8.5. S'il existe une matrice \(\Phi\) inversible, à coefficients dans \(\F_p(x)\), dont les colonnes sont solutions (\(\nabla_p \Phi = 0\)), alors \(\psi_p = 0\).

Démonstration. On a \(\psi_p \Phi = \nabla_p^{\,p} \Phi = 0\), et \(\psi_p\) est une matrice d'après la proposition 8.4. Comme \(\Phi\) est inversible, \(\psi_p = 0\). ∎

Conjecture 8.6 (Grothendieck–Katz). Soit \(A \in M_n(\Q(x))\). Le système \(Y' = AY\) admet \(n\) solutions indépendantes dont toutes les coordonnées sont algébriques si et seulement si \(\psi_p = 0\) pour presque tout nombre premier \(p\).

Remarque 8.7. N. Katz a démontré la conjecture pour les connexions de Gauss–Manin, c'est-à-dire pour les équations de Picard–Fuchs que satisfont les périodes d'une famille de variétés algébriques (Invent. Math. 18, 1972). Le cas d'une seule équation d'ordre \(1\) est connu en général (D. et G. Chudnovsky, 1985 ; J.-B. Bost, 2001 ; Y. André, 2004). Le cas général est ouvert. Les deux théorèmes qui suivent en sont des cas particuliers, dans les cadres de cet article, avec des démonstrations complètes et élémentaires.

Proposition 8.8. Si \(A \in M_n(\Q)\) est constante et \(p\) bon, alors \(\psi_p = -A_p^{\,p}\).

Démonstration. La matrice \(A_p\) est constante, donc \(\cro{\Dx}{A_p} = 0\) (proposition 2.3, coefficient par coefficient). Pour deux opérateurs qui commutent, la formule du binôme s'applique, et les coefficients intermédiaires sont divisibles par \(p\) : \((\Dx - A_p)^p = \Dx^p + (-A_p)^p = \Dx^p - A_p^{\,p}\). Enfin \(\Dx^p = 0\) par le lemme 8.1. ∎

Exemple 8.9. Pour \(y' = y\), on a \(\psi_p = -1\) pour tout \(p\) : la \(p\)-courbure ne s'annule jamais, comme les factorielles de \(e^x\) l'annonçaient. Pour \(y'' - 3y' + 2y = 0\) (exemple 3.2), la matrice est \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\), de valeurs propres \(1\) et \(2\). Pour \(p \geq 3\), ces valeurs propres sont distinctes dans \(\F_p\), donc \(A_p\) est diagonalisable, et \(A_p^{\,p}\) a pour valeurs propres \(1^p = 1\) et \(2^p = 2\) (petit théorème de Fermat) : \(A_p^{\,p} = A_p\) et \(\psi_p = -A_p \neq 0\).

Lemme 8.10. Pour \(\lambda \in \C\) non nul, la fonction \(x \mapsto e^{\lambda x}\) n'est algébrique sur aucun intervalle.

Démonstration. Supposons \(P(x, e^{\lambda x}) = 0\) sur un intervalle \(I\), avec \(P = \sum_{k=0}^d c_k(x) Y^k\) non nul, et \(c_d \neq 0\). La fonction \(z \mapsto \sum_k c_k(z) e^{k\lambda z}\) est définie sur \(\C\) tout entier et développable en série entière ; nulle sur \(I\), elle est nulle partout, par le principe des zéros isolés. Prenons \(z = s\bar\lambda\) avec \(s\) réel, de sorte que \(e^{k\lambda z} = e^{k|\lambda|^2 s}\), et divisons par \(e^{d|\lambda|^2 s}\) : \[ c_d(s\bar\lambda) = -\sum_{k<d} c_k(s\bar\lambda)\, e^{-(d-k)|\lambda|^2 s} \xrightarrow[s \to +\infty]{} 0 , \] car l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme. Mais un polynôme non nul ne tend pas vers \(0\) à l'infini : contradiction. ∎

Théorème 8.11 (Grothendieck–Katz à coefficients constants). Soit \(A \in M_n(\Q)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. toutes les solutions de \(Y' = AY\) sont algébriques ;
2. \(A\) est nilpotente ;
3. \(\psi_p = 0\) pour tout \(p\) bon et \(\geq n\), donc pour presque tout \(p\) ;
4. \(\psi_p = 0\) pour une infinité de nombres premiers \(p\).

Démonstration. 2 \(\Rightarrow\) 1. Si \(A^n = 0\), la série de l'exponentielle s'arrête : \(e^{xA} = \sum_{k<n} \frac{x^k}{k!} A^k\) est une matrice de polynômes, et les solutions \(e^{xA} Y_0\) (section 6) aussi.

2 \(\Rightarrow\) 3. Si \(A^n = 0\), alors \(A_p^{\,n} = 0\), donc \(A_p^{\,p} = 0\) dès que \(p \geq n\). Et 3 \(\Rightarrow\) 4 est évident.

4 \(\Rightarrow\) 2. Si \(\psi_p = 0\), alors \(A_p^{\,p} = 0\) : la matrice \(A_p\) est nilpotente, donc toutes ses valeurs propres (dans une clôture algébrique de \(\F_p\)) sont nulles, et son polynôme caractéristique est \(t^n\). Or ce polynôme caractéristique est la réduction modulo \(p\) de celui de \(A\), \(\chi_A(t) = t^n + c_{n-1}t^{n-1} + \cdots + c_0\). Chaque coefficient \(c_j\) est donc, pour une infinité de \(p\), un rationnel dont le numérateur est divisible par \(p\). Un entier divisible par une infinité de nombres premiers est nul : \(\chi_A = t^n\), et \(A^n = 0\) par le théorème de Cayley–Hamilton.

1 \(\Rightarrow\) 2. Si \(A\) n'est pas nilpotente, elle a une valeur propre \(\lambda \neq 0\) et un vecteur propre \(v \in \C^n\). Alors \(Y(x) = e^{\lambda x} v\) est solution, et l'une de ses coordonnées est \(v_j e^{\lambda x}\) avec \(v_j \neq 0\). Elle n'est pas algébrique, d'après le lemme 8.10. ∎

Proposition 8.12 (formule de Jacobson en rang \(1\)). Soit \(\mathcal R\) un anneau commutatif muni d'une dérivation \(\Dx\), avec \(p \cdot 1 = 0\), et \(b \in \mathcal R\). Comme opérateurs sur \(\mathcal R\), \[ (\Dx + b)^p = \Dx^p + \big(b^p + \Dx^{p-1} b\big) . \]

Démonstration. Étape 1. Pour tout \(n\) et toute \(y \in \mathcal R\), on a \[ (\Dx+b)^n (y) = \sum_{k=0}^n \binom nk\, u_{n-k}\, \Dx^k y . \] C'est vrai pour \(n = 0\). Si c'est vrai au rang \(n\), on applique \(\Dx + b\) : le terme \(u_{n-k}\Dx^k y\) donne \((\Dx u_{n-k} + b\,u_{n-k})\Dx^k y + u_{n-k}\Dx^{k+1}y = u_{n-k+1}\Dx^k y + u_{n-k}\Dx^{k+1} y\), et la relation de Pascal regroupe les termes. Pour \(n = p\), les coefficients \(\binom pk\) avec \(0<k<p\) sont nuls dans \(\mathcal R\), et il reste \((\Dx+b)^p(y) = u_p\,y + \Dx^p y\).

Étape 2. Notons \(\Pi_n\) l'ensemble des partitions de \(\{1, \dots, n\}\) en parties non vides, qu'on appelle des blocs. Alors \[ u_n = \sum_{\pi \in \Pi_n}\ \prod_{B \in \pi} \Dx^{|B|-1} b . \] Par récurrence, à partir de \(u_{n+1} = \Dx u_n + b\, u_n\). Une partition de \(\{1, \dots, n+1\}\) s'obtient à partir d'une partition \(\pi\) de \(\{1, \dots, n\}\) de deux façons. Ou bien \(n+1\) forme un bloc à lui seul, ce qui multiplie le produit par \(b\) : c'est le terme \(b\,u_n\). Ou bien on ajoute \(n+1\) à l'un des blocs \(B\) de \(\pi\), ce qui remplace le facteur \(\Dx^{|B|-1}b\) par \(\Dx^{|B|}b\) ; en sommant sur les blocs \(B\), on obtient exactement la dérivée du produit, par la règle de Leibniz : c'est le terme \(\Dx u_n\).

Étape 3. Prenons \(n = p\) et identifions \(\{1, \dots, p\}\) à \(\Z/p\Z\). La rotation \(\sigma : i \mapsto i+1\) agit sur les partitions, et ne change pas le produit associé, qui ne dépend que des tailles des blocs. Les orbites ont \(1\) ou \(p\) éléments, puisque \(\sigma^p = \mathrm{id}\) et que \(p\) est premier. Une orbite à \(p\) éléments contribue \(p\) fois le même produit, soit \(0\) dans \(\mathcal R\). Restent les partitions fixées par \(\sigma\). Si \(\pi\) est fixée et si \(B\) est le bloc qui contient \(0\), ou bien \(\sigma(B) = B\), et alors \(B\) contient \(0, 1, 2, \dots\), donc \(B = \Z/p\Z\) et \(\pi\) n'a qu'un bloc ; ou bien les translatés \(\sigma^k(B)\), \(0 \leq k < p\), sont \(p\) blocs distincts (si deux coïncidaient, \(B\) serait stable par une puissance de \(\sigma\) qui engendre le groupe, donc par \(\sigma\)), ce qui, dans un ensemble à \(p\) éléments, impose des singletons. Il ne reste que deux termes : un seul bloc, qui donne \(\Dx^{p-1}b\), et \(p\) singletons, qui donnent \(b^p\). ∎

Exemple 8.13. Pour \(p = 3\) : les cinq partitions de \(\{1,2,3\}\) donnent \(u_3 = b^3 + 3\,b\,b' + b''\). Les trois partitions en un bloc de deux et un singleton forment une orbite de la rotation, et leur contribution \(3bb'\) disparaît modulo \(3\).

Lemme 8.14. Soit \(p\) premier, \(\alpha, r, c \in \F_p\), et \(n, k\) des entiers avec \(0 \leq n \leq p-2\) et \(2 \leq k \leq p-1\). Dans \(\F_p(x)\) : \[ \Psi(\alpha x^n) = \alpha\, x^{np}, \qquad \Psi\Big(\frac{r}{x-c}\Big) = 0, \qquad \Psi\Big(\frac{r}{(x-c)^k}\Big) = \frac{r}{(x^p - c)^k} . \]

Démonstration. Les puissances \(p\)-ièmes se calculent avec le petit théorème de Fermat (\(\alpha^p = \alpha\) dans \(\F_p\)) et la formule du binôme modulo \(p\), qui donne \((x-c)^p = x^p - c^p = x^p - c\). Restent les dérivées \((p-1)\)-ièmes. D'abord \(\Dx^{p-1}(x^n) = n(n-1)\cdots(n-p+2)\,x^{n-p+1}\), et ce produit contient le facteur \(0\) puisque \(n - p + 2 \leq 0 \leq n\). Ensuite \[ \Dx^{p-1}\big((x-c)^{-k}\big) = (-1)^{p-1}\, k(k+1)\cdots(k+p-2)\, (x-c)^{-k-p+1} . \] Pour \(k \geq 2\), les \(p-1\) entiers consécutifs \(k, \dots, k+p-2\) contiennent \(p\), et le produit est nul. Pour \(k = 1\), il vaut \((p-1)!\), qui est congru à \(-1\) modulo \(p\) (théorème de Wilson) ; on trouve \(\Dx^{p-1}\big(\frac{r}{x-c}\big) = -\frac{r}{(x-c)^p}\), qui compense exactement \(\big(\frac{r}{x-c}\big)^p = \frac{r}{(x-c)^p}\). (Pour \(p = 2\), le signe \((-1)^{p-1}\) vaut \(-1 = 1\) et le calcul est le même.) ∎

Théorème 8.15 (Grothendieck–Katz à l'ordre 1). Soit \(a \in \Q(x)\) dont tous les pôles sont rationnels. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. l'équation \(y' = a\,y\) a une solution non nulle algébrique, sur un intervalle où \(a\) n'a pas de pôle ;
2. \(a = \sum_i \frac{r_i}{x - c_i}\), avec des \(r_i \in \Q\) et des \(c_i \in \Q\) distincts ;
3. \(\psi_p = 0\) pour presque tout \(p\) ;
4. \(\psi_p = 0\) pour une infinité de nombres premiers \(p\).

Démonstration. 2 \(\Rightarrow\) 1. Soit \(N\) un dénominateur commun des \(r_i\). La fonction \(y = \prod_i |x - c_i|^{r_i}\) vérifie \(y'/y = \sum_i r_i/(x-c_i) = a\), et \(y^N = \pm\prod_i (x-c_i)^{N r_i}\) est une fraction rationnelle : \(y\) est algébrique.

1 \(\Rightarrow\) 2. Soit \(y\) une solution algébrique non nulle, et \(P(Y) = Y^d + c_{d-1}Y^{d-1} + \cdots + c_0\), à coefficients \(c_k \in \C(x)\), un polynôme unitaire de degré minimal tel que \(P(y) = 0\) ; il est irréductible. Dérivons l'identité \(P(y(x)) = 0\), en utilisant \(y' = ay\) : \[ \sum_{k=0}^d \big(c_k' + k\,a\,c_k\big)\, y^k = 0 \qquad (c_d = 1) . \] Le polynôme \(Q(Y) = \sum_k (c_k' + k a c_k) Y^k\) a pour coefficient dominant \(d\,a\), et \(Q - d\,a\,P\), de degré \(< d\), s'annule en \(y\) : il est nul par minimalité. Donc \(c_k' = (d-k)\,a\,c_k\) pour tout \(k\), et en particulier \(c_0' = d\,a\,c_0\). De plus \(c_0 \neq 0\), sinon \(Y\) diviserait le polynôme irréductible \(P\), qui serait \(Y\), et \(y\) serait nulle. Écrivons \(c_0 = \mu \prod_j (x - \gamma_j)^{m_j}\), avec \(m_j \in \Z\) non nuls : alors \(d\,a = c_0'/c_0 = \sum_j \frac{m_j}{x - \gamma_j}\). Ainsi \(a = \sum_j \frac{m_j/d}{x-\gamma_j}\) : ses pôles \(\gamma_j\) sont rationnels par hypothèse, et ses résidus \(m_j/d\) sont rationnels.

2 \(\Rightarrow\) 3. Pour \(p\) ne divisant aucun dénominateur des \(r_i\) et des \(c_i\), l'additivité de \(\Psi\) et le lemme 8.14 donnent \(\psi_p = -\sum_i \Psi\big(\frac{r_i}{x-c_i}\big) = 0\). Et 3 \(\Rightarrow\) 4 est évident.

4 \(\Rightarrow\) 2. Décomposons \(a\) en éléments simples sur \(\Q\), ce qui est possible puisque ses pôles sont rationnels : \[ a = P(x) + \sum_i \sum_{k=1}^{m_i} \frac{r_{ik}}{(x - c_i)^k} . \] Pour \(p\) assez grand (\(p > \deg P + 1\), \(p > m_i\), \(p\) ne divisant aucun dénominateur, et les \(c_i\) distincts modulo \(p\)), l'additivité de \(\Psi\) et le lemme 8.14 donnent \[ \Psi(a_p) = R(x^p), \qquad\text{où}\qquad R(t) = P(t) + \sum_i \sum_{k=2}^{m_i} \frac{r_{ik}}{(t - c_i)^k} \in \F_p(t) . \] Les pôles simples ont disparu. Si \(\psi_p = 0\), alors \(R(x^p) = 0\), donc \(R = 0\) (un polynôme \(N(t)\) tel que \(N(x^p) = 0\) est nul). Par unicité de la décomposition en éléments simples sur \(\F_p\), les coefficients de \(P\) et les \(r_{ik}\) avec \(k \geq 2\) sont nuls modulo \(p\). Si cela arrive pour une infinité de \(p\), ces rationnels sont nuls, et \(a = \sum_i \frac{r_{i1}}{x - c_i}\). ∎

Exemple 8.16. Pour \(y' = \frac{r}{x}\,y\), avec \(r \in \Q\), on trouve \(\psi_p = 0\) pour presque tout \(p\), et en effet \(x^r\) est algébrique. Pour \(y' = -\frac{1}{x^2}\,y\), le lemme donne \(\psi_p = -\Psi(-x^{-2}) = x^{-2p} \neq 0\), et en effet la solution \(e^{1/x}\) n'est pas algébrique. Dans l'exemple 4.3, l'opérateur se factorise en deux facteurs \(\Dx - \frac1x\), de \(p\)-courbure nulle, et les solutions \(x\) et \(x^2\) sont des polynômes. On peut le vérifier directement : la matrice \(\Phi = \begin{pmatrix} x & x^2 \\ 1 & 2x \end{pmatrix}\) des solutions et de leurs dérivées a pour déterminant \(x^2\), inversible dans \(\F_p(x)\), et la proposition 8.5 donne \(\psi_p = 0\) pour tout \(p\).

Remarque 8.17 (le lien avec la cote 93). La formule \(\Psi(a) = R(x^p)\) dit que la \(p\)-courbure garde la partie non logarithmique de \(a\), lue en \(x^p\). Grothendieck écrit la même chose page 207 du dossier 93, pour la connexion \(d + \omega\) sur une variété : la \(p\)-courbure y est \(\omega^{\otimes p} - F^*(\widetilde C\omega)\), où \(\widetilde C\) est l'opération de Cartier. Pour \(\omega = a\,dx\) sur une droite, \(\widetilde C\) garde exactement les termes \(\frac{r\,dx}{x-c}\) (et ceux en \(x^{p-1}dx\)), et le terme \(F^*(\widetilde C\omega)\) correspond à notre \(\Dx^{p-1}a\), au signe près. Quand les pôles de \(a\) ne sont pas rationnels, ses résidus \(\rho\) sont des nombres algébriques. Le même calcul montre alors que \(\rho^p \equiv \rho\) modulo les idéaux premiers au-dessus de presque tout \(p\), et un théorème d'arithmétique (Kronecker, Chebotarev) en déduit que \(\rho\) est rationnel. C'est la seule étape qui manque ici pour le cas général de l'ordre \(1\).

Conjecture 8.18 (Grothendieck–Katz, énoncé général). Soit \(X\) une variété lisse sur un corps de nombres \(K\), et \((E, \nabla)\) un fibré vectoriel sur \(X\) muni d'une connexion intégrable. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \((E, \nabla)\) admet localement une base de solutions algébriques ; de façon équivalente, \((E, \nabla)\) devient trivial après un revêtement fini étale de \(X\) ou, sur \(\C\), sa monodromie est un groupe fini ;
2. pour presque tout idéal premier \(\mathfrak p\) de l'anneau des entiers de \(K\), la \(p\)-courbure de la réduction de \((E, \nabla)\) modulo \(\mathfrak p\) est nulle.

Exercice 1. Montrer que pour tout entier \(n \geq 1\), \(\cro{\Dx}{\M{x^n}} = n\,\M{x^{n-1}}\), puis que \(\cro{\Dx^2}{\M{q}} = 2\,q'\,\Dx + q''\).

Exercice 2. Résoudre \(y'' - 2y' + y = e^{x}\) par factorisation \((\Dx-1)^2\), puis par variation des constantes, et comparer les calculs. Indication : on trouve \(y_p = \frac{x^2}{2}e^{x}\).

Exercice 3. Vérifier que \(y_1 = e^{x}\) est solution de \(x\,y'' - (x+1)\,y' + y = 0\) sur \(]0,+\infty[\). En déduire une factorisation de l'opérateur associé, puis toutes les solutions. Indication : on obtient \(q=1\) et \(p = 1/x\), puis la solution \(x+1\).

Exercice 4. Calculer \(\cro{X_\varphi}{S}\) en appliquant les deux champs à une fonction \(g(y,y')\) quelconque, et retrouver \(\cro{X_\varphi}{S} = X_\varphi\).

Exercice 5. Soit \(A(x) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & x \end{pmatrix}\). Calculer \(\cro{A(x)}{A(s)}\) et en déduire que la formule exponentielle de la proposition 6.1 n'est pas applicable directement.

Exercice 6. Calculer la \(p\)-courbure du système associé à \(y'' + y = 0\) pour \(p\) impair, et montrer qu'elle n'est jamais nulle. Qu'en déduit-on sur les solutions ? Retrouver le résultat avec la solution \(e^{ix}\).

Exercice 7. Soit \(a = \frac1x + \frac1{x^2}\). Calculer \(\psi_p\) pour l'équation \(y' = a\,y\) et \(p \geq 3\). Conclure avec le théorème 8.15, puis vérifier que \(y = x\,e^{-1/x}\) est solution.

Exercice 8. Vérifier la formule \(u_3 = b^3 + 3\,b\,b' + b''\) de l'exemple qui suit la proposition 8.12, en calculant \((\Dx + b)^3(1)\) directement. Écrire de même \(u_4\) à l'aide des quinze partitions de \(\{1,2,3,4\}\), et vérifier que \(u_4 \neq b^4 + b'''\) en général : la simplification est propre aux nombres premiers.